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最小完美哈希函数简介

在 2011年10月16日 上公布 作者为 yankay

什么是保序最小完美哈希函数

我曾经花了很多脑筋来找一个很好很完美的哈希算法,但都没有想到,最近看到了,掩不住一阵激动分享下。最小完美哈希函数是什么,要从定义说起,这个名字很长,一步步解释。

  1. 哈希函数 任意函数h(x)都可以说哈希函数,一般来说,一个良好的哈希函数可以尽量避免重复。x的集合是参数域,h(x)的集合是值域。
  2. 完美哈希函数  完美哈希函数,就是完全不会冲突的哈希函数,这要求函数的值域至少比参数域要大
  3. 最小完美哈希函数 最小完美哈希函数,就是指函数的值域和参数域的大小完全相等,一个也不多
  4. 保序最小完美哈希函数 保序的意思就是指这个哈希之后顺序是不变的,同时还能满足其他两个条件。
这个函数的优点就是形式上很完美,就像给一个排好序的文档编上的序号一般紧凑可靠。但是这个函数有两个缺点,一是必须事前必须知道原数据集,二是需要花一定的CPU来生成这个函数。我认为,对于数据仓库类的线下搜索应用,这个算法是有用武之地的。但对于强调实时的数据业务,这个算法是不适合的。

算法实现

该算法的实现方法是这样的。先构造两个普通的哈希函数h1(x)和h2(x),还有一个用数组实现的函数g(x)。使得$$h(x)=g(h1(x))+g(h2(x)) mod n$$,其中n是参数的总个数,H(x)就是最终的有序最小完美哈希函数了。

以上是定义,说不清楚,举个例子就明白了。取一个n为12的数据集。

首先构造这三个函数:
函数h1和h2:

x h1函数 h2函数
jezebel 5 9
jezer 5 7
… … …

函数g:

x g函数
5 0
7 1
9 0
… …
根据上文的公式$$h(x)=g(h1(x))+g(h2(x)) mod n$$,可以得出:
x h计算步骤 h值
jezebel g(5)+g(9) 0
jezer g(5)+g(7) 1
… … …

这里的h就可以最小完美哈希函数算出的值了,很神奇,不是吗?

大致的流程走了一遍,现在最最关键的是h1(x),h2(x)和g(x)是怎么得来的。

h1(x)和h2(x)比较简单,可以使用一个很简便的方法获得:先定义一个权重数组w[i],这个数据是一系列随机的数。$$h1=(t[1]*w[1]+t[2]*w[2]+…+t[i]*w[i]) mod m$$。其中t[i]指得的字符串x的第i个字符,m值得的函数的值域。只要更换一个权重数组,就可以重新构造一个新函数。有很多方法可以构造这两个函数。

g(x)的获得就比较复杂。可以是凑出来的。就如同上面的例子,因为$$g(5)+g(9) mod 12=0$$,$$g(5)+g(7) mod 12=1$$。所以我们可以凑出$$g(5)=0,g(7)=1,g(9)=0$$这样就可以满足上面的两个条件了。需要一个数组来存储函数g的结果,当然凑也不能瞎凑,是有方法的,下面专门讲凑的步骤。

算法函数生成

首先随意设定一个数,比如是7,设为$$g(7)=1$$,因为我们已知$$g(5)+g(7) mod 12=1$$,所以可以推论出$$g(5)=0$$。因为$$g(5)+g(9) mod 12=0$$,所以可以推出$$g(9)=0$$,以此类推就可以了。但要注意的是千万不能重复设定一个数两次,这样就会形成一个环,永远也推不完。所以遇到已经推算过的数的时候,要检测环的存在。这样下去,就可以猜出全部的值了。

现在需要的就是分析这个凑的过程的运行效率问题。这个就要涉及到h1,h2这两个函数的值域大小,如果越大,越容易凑出一个g函数,但是g函数的参数域就会比较大,存储这个g函数的数据就需要占用更多的空间。相反如果值域越小,在凑的时候就非常容易出现环,需要更长的时间才能凑出这个g函数。

怎么办呢?

我们可以使用3个的h函数来降低形成环的可能,就是这样$$h(x)=g(h1(x))+g(h2(x))+g(h3(x)) mod n$$,这样虽然推理g函数的过程会复杂一些,但是很有效,有实验分析表明,当h函数的值域大约参数域的1.23倍的时候,这个g函数的创建尝试次数是常数。

至此,这个算法介绍完了。这个方法是从《Managing Gigabytes》这本书看到的,这里的讲述更浅显一些。

结语

这个哈希函数是一个静态Hash函数,可以非常有效的缩减索引所需要的空间。《Managing Gigabytes》一书中有一个对比,如果直接使用字符串数组,100万个术语需要28MB的空间,而是要这样的哈希函数,可以缩减到12MB。要知道索引小一点,磁盘就能读得快一点,查询就能快一点。所以这个哈希函数对于提高性能是非常给力的。

但是他是静态的,就意味着事前必须知道需要哈希哪些数据。同时生成的算法比较复杂,需要很长的时间来建立索引。没有办法实时添加更新。给他的应用范围提了个极大的限制。窃以为输入法的词库,数据仓库的查询索引,还有一些不需要更新且对性能有要求的场景,这个算法是适用的。

文章分类 软件技术 | 标签: opmphf, 哈希, 最小完美哈希函数 | 发表评论 |

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